Die Wahrscheinlichkeiten von Set
Wieviele Kombinationen gibt es?
Es gibt insgesamt 81 Karten. Um herauszufinden, wieviele Dreierkombinationen daraus zu
bilden sind, muß man nur ein wenig Schulmathematik hervorkramen. Die Formel dazu
nennt sich "n über k" und wird wie folgt berechnet:
n ist die Gesamtzahl der Elemente, k ist die Zahl der Elemente pro Kombination.
Die Ausrufezeichen bedeuten dabei "Fakultät" einer Zahl und bezeichnen, wieviele unterschiedliche Anordnungen
aller Elemente einer Menge möglich sind.
6! (sprich: Sechs Fakultät) berechnet sich als 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 720 Kombinationen.
Setzt man in die obige Formel 81 für n und 3 für k ein, so erhält man:
| ( |
81 |
) |
= |
81! |
= |
81 * 80 * 79 |
= 85320 Kombinationen |
| 3 |
3! * 78! |
6 |
Wieviele gültige Sets gibt es?
Um diese Frage zu beantworten, muß man sich zunächst fragen, wie man zwei beliebige Karten
zu einem Set ergänzen würde. Man betrachtet dazu jede der vier Eigenschaften und ergänzt
nach folgendem Muster: Sind die Eigenschaften der Karten gleich, so ist die dritte Eigenschaft dieselbe. Sind die
Eigenschaften unterschiedlich, so ist die gesuchte Eigenschaft die dritte, die noch fehlt. Zu jedem Kartenpärchen
existiert also genau eine Karte, die das Set komplettiert. Die Frage reduziert sich auf: Wieviele Zweierkombinationen lassen
sich aus 81 Karten bilden?
| ( |
81 |
) |
= |
81! |
= |
81 * 80 |
= 3240 Kombinationen |
| 2 |
2! * 79! |
2 |
Diese Zahl muß allerdings noch durch 3 geteilt werden, da die Ergänzung von jeweils 3 Pärchen eines
Sets das selbe Set ergeben. Die Gesamtanzahl ist also 1080 Sets.
Wie hoch ist meine Chance ein Set zu finden?
Bei drei zufällig gezogenen Karten ist die Chance 1080 zu 85320 oder 1 zu 79 oder etwa 1,27 %.
Aus den zwölf aufgelegten Karten lassen sich mehrere Zweierkombinationen bilden, nämlich:
| ( |
12 |
) |
= |
12! |
= |
12 * 11 |
= 66 Kombinationen |
| 2 |
2! * 10! |
2 |
Die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte, zu einem Set fehlende Karte nicht in den übrigen 10 sichtbaren
Karten enthalten ist, beträgt 69 / 81 = 0,851851852 oder 85,2%.
Bei 66 Möglichkeiten wird die Gefahr sehr klein, gar kein Set zu finden, 85,2% hoch 66 = 0,000025353.
Bei 15 Karten auf dem Tisch ist die Gefahr nur 81,5% hoch 105 = annähernd Null.
Mit der Formel n über k kann man übrigens auch die Chancen beim Lotto berechnen.
Es sind 13983816 Kombinationen bei 6 aus 49 möglich, das Zehnfache, wenn man partout den
Jackpot knacken will.
Sprich: Die Wahrscheinlichkeit, den Lotto-Jackpot zu gewinnen ist etwa gleich hoch,
egal ob man mitspielt, oder nicht. :-)