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Was ist eigentlich ein Fraktal?
Der Schöpfer dieses Begriffs, Benoit Mandelbrot (den Namen haben Sie doch vor Kurzem schon mal gelesen, wo war das noch?) sammelte und ordnete in seinen bahnbrechenden Essays viele seltsame, zerklüftete und irreguläre Gebilde. Nun, Essays sind nicht immer mehrere hundert Seiten dick und wiegen drei Kilo, aber was soll's. Die meisten dieser 'Monster' wurden bereits um 1900 entdeckt und beschrieben. (Die Namen der Entdecker habe ich in der Combo-Box des Applets verewigt).
Mandelbrot hat nun eine Systematik in diese Kurven gebracht, indem er die Dimension ins Spiel brachte. Im euklid'schen Sinn gibt es nur ganzzahlige Dimensionen: ein Punkt hat null, ein Raum hat drei, eine Fläche zwei, eine Gerade eine Dimension. Der Peano-Drachen z.B. füllt nach unendlich vielen Erzeugungsstufen eine begrenzte Ebene fast vollständig aus. Die Dimension der Linie liegt also irgendwo zwischen eins und zwei.
Diese sogenannte Hausdorff-Besicovitch-Dimension lässt sich aus dem erzeugenden Generator berechnen, und liegt für den Peano-Drachen bei 1,5236, für die Koch-Kurve bei 1,2618. Die Peano-Füllkurve füllt vollständig eine Ebene aus, die Dimension dieser Linie ist also 2!
Die Definition lautet: Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension eines Fraktals ist größer als seine euklid'sche Dimension. Ein weiteres Merkmal der Fraktale ist ihre Selbstähnlichkeit, d.h. in jeder Vergrösserung sieht sich die Kurve ähnlich.
So, jetzt aber genug geschwafelt, viel Spass mit den Grafiken!